INVESTIGACION DE OPERACIONES

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2.1.2 Procedimiento de Optimización abril 10, 2010

Motivos para estudiar Optimización

 Existe una enorme variedad de actividades en el mundo cotidiano que pueden ser útilmente descritas como sistemas, desde sistemas físicos tales como una planta industrial hasta entidades teóricas tales como los modelos económicos. La operación eficiente de esos sistemas usualmente requiere un intento por optimizar varios índices que miden el desempeño del sistema. Algunas veces, esos índices son cuantificados y representados como variables algebraicas. Entonces se deben encontrar valores para esas variables, que maximicen la ganancia o beneficio del sistema, o bien minimicen los  gastos  o  pérdidas.  Se  asume  que  las  variables  dependen  de  ciertos  factores. Algunos de esos factores a veces están bajo el control (al menos parcialmente) del analista responsable del desempeño del sistema.

 

El proceso de administración de los recursos escasos de un sistema se suele dividir en seis fases:

i    análisis matemático del sistema

ii  construcción de un modelo matemático que refleja los aspectos importantes del sistema

iii  validación del modelo

iv manipulación  del  modelo a fin  de obtener una  solución  satisfactoria,  si  no óptima

v    implementación de la solución seleccionada

vi introducción de una estrategia de control del desempeño del sistema después de la implementación efectuada.

La cuarta fase, la manipulación del modelo, es la que concierne a la teoría de la optimización. Las otras fases son muy importantes en la administración de cualquier sistema y probablemente requerirán mayor esfuerzo total que la fase de optimización. Sin embargo, en esta presentación de la optimización se asumirá que las demás fases fueron o serán resueltas aparte. Debido a que la teoría de la optimización brinda este eslabón en la cadena de la administración de sistemas constituye un cuerpo importante del conocimiento matemático.

 

El Alcance de la Optimización

Una de las herramientas más importantes de la optimización es la programación lineal. Un problema de programación lineal está dado por una función lineal de varias variables que debe ser optimizada (maximizada o minimizada) cumpliendo con cierto número de restricciones también lineales.

El matemático G.B. Dantzig desarrolló un algoritmo llamado el método simplex para resolver problemas de este tipo. El método simplex original ha sido modificado a fin   de   obtener   un   algoritmo   eficiente   para   resolver   grandes   problemas   de programación lineal por computadora.

Por medio de la programación lineal se pueden formular y resolver problemas de una gran variedad de campos del quehacer humano, entre los que se puede mencionar: asignación de recursos en la planificación de gobierno, análisis de redes para planificación urbana y regional, planificación de la producción en la industria, y la administración de sistemas de transporte y distribución. Por esto la programación lineal es uno de los éxitos de la moderna teoría de la optimización.

 

La Optimización como una rama de las Matemáticas

Se puede ver, por lo dicho en la sección anterior, que la teoría de la optimización es matemática por naturaleza. Típicamente involucra la maximización o minimización de una función (a veces desconocida) que representa el desempeño de algún sistema. Esto   se  resuelve  encontrando   los   valores   de  las   variables   (cuantificables   y controlables) que hacen que la función alcance su mejor valor. A fin de entender como operan los algoritmos se requieren conocimientos de álgebra lineal y cálculo diferencial con varias variables.

 

Conceptos Básicos de Optimización 

Esta sección introduce algunos de los conceptos básicos de optimización que se utilizan a lo largo del presente compendio. Cada concepto se ilustra por medio del siguiente ejemplo.

El problema es:

 

 

Este  es  un  problema  típico  en  la  teoría  de  optimización:  la  maximización (o minimización) de una función real de variables reales (a veces una sola variable) sujeta a un número de restricciones (a veces este número es cero).

La función f se llama función objetivo, x1 y x2 se llaman variables independientes o variables decisionales. El problema es encontrar valores reales para x1 y x2, que satisfagan las restricciones (1.2), (1.3) y (1.4), los cuales introducidos en (1.1) hagan que f (x1,x2) tome un valor no menor que para cualquier otro par x1,x2.

En la figura siguiente se muestran tres contornos de la función objetivo.

 

 

La función objetivo tiene el mismo valor en todos los puntos de cada línea, de modo que los contornos pueden asimilarse a las isobaras (o isotermas) de un mapa climático.

No es difícil ver que la solución del problema es:

X       ( x 1 , x  2 )     (1, 0)

Esto significa que

f ( X  )             f ( X ) ,   X      S               (1.5)

Cuando una solución  X  S  satisface (1.5) se llama solución óptima, y en este caso solución máxima (también solución optimal o maximal). Si el símbolo en (1.5) fuera “   ”,  X  sería una solución mínima. Además, f ( X  ) se llama valor óptimo, y no debe ser confundido con solución óptima.

 

En la figura se observa que se podrían obtener valores mayores de f eligiendo ciertos x1, x2 fuera de S.

 

Cualquier par ordenado de números reales se llama solución del problema y el valor correspondiente de f se llama valor de la solución. Una solución X tal que S se llama solución factible, en tanto que S = {(x1,x2) : h (x1,x2)    0, x1     0, x2     0}, que generalmente es una región conexa, se llama región factible.

 

 

Tema 2.2 Problema Camino más Corto

 

 

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One Response to “2.1.2 Procedimiento de Optimización”

  1. isma Says:

    hola me ayudo mucho con mi tarea de investigacion de operaciones 🙂


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